MediuAplicații ale derivatelorClasa 12

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie AnaliticăIntegrale definite
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x33−2x2+3xf(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x. a) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x=1. b) Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției, tangenta determinată la punctul x=1x=1 și axa OyOy.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează f′(x)=x2−4x+3f'(x) = x^2 - 4x + 3. Pentru x=1x=1, f(1)=13−2+3=43f(1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3} și f′(1)=1−4+3=0f'(1) = 1 - 4 + 3 = 0. Ecuația tangentei: y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x-1), deci y=43y = \frac{4}{3}.
23 puncte
Se rezolvă ecuația f(x)=43f(x) = \frac{4}{3} pentru intersecția dintre funcție și tangentă: x33−2x2+3x=43\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x = \frac{4}{3} se aduce la forma x3−6x2+9x−4=0x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0. Se factorizează: (x−1)2(x−4)=0(x-1)^2(x-4)=0, deci punctele de intersecție sunt x=1x=1 (dublu, punct de tangență) și x=4x=4. Tangenta intersectează axa OyOy în (0,43)(0, \frac{4}{3}).
33 puncte
Aria cerută este dată de ∫01(43−f(x))dx\int_{0}^{1} \left( \frac{4}{3} - f(x) \right) dx, deoarece pe [0,1][0,1], f(x)≤43f(x) \leq \frac{4}{3}. Astfel, ∫01(43−(x33−2x2+3x))dx=∫01(−x33+2x2−3x+43)dx=[−x412+2x33−3x22+43x]01=−112+23−32+43=14\int_{0}^{1} \left( \frac{4}{3} - \left( \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right) \right) dx = \int_{0}^{1} \left( -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x + \frac{4}{3} \right) dx = \left[ -\frac{x^4}{12} + \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + \frac{4}{3}x \right]_{0}^{1} = -\frac{1}{12} + \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + \frac{4}{3} = \frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.