MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Un fir de sârmă de lungime LL este tăiat în două părți. Din prima parte, de lungime xx, se formează un pătrat, iar din a doua parte, de lungime L−xL-x, se formează un cerc. Determinați valoarea lui xx pentru care suma ariilor pătratului și cercului este minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimarea ariei totale A(x)A(x) în funcție de xx. Perimetrul pătratului este xx, deci latura este x4\frac{x}{4} și aria este (x4)2=x216\left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}. Circumferința cercului este L−xL-x, deci raza este L−x2π\frac{L-x}{2\pi} și aria este π(L−x2π)2=(L−x)24π\pi \left(\frac{L-x}{2\pi}\right)^2 = \frac{(L-x)^2}{4\pi}. Așadar, A(x)=x216+(L−x)24πA(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(L-x)^2}{4\pi}.
23 puncte
Calculul derivatei: A′(x)=ddx(x216+(L−x)24π)=2x16−2(L−x)4π=x8−L−x2πA'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{16} + \frac{(L-x)^2}{4\pi} \right) = \frac{2x}{16} - \frac{2(L-x)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{L-x}{2\pi}.
33 puncte
Rezolvarea ecuației A′(x)=0A'(x)=0: x8=L−x2π⇒2πx=8(L−x)⇒2πx+8x=8L⇒x(2π+8)=8L⇒x=8L2π+8=4Lπ+4\frac{x}{8} = \frac{L-x}{2\pi} \Rightarrow 2\pi x = 8(L-x) \Rightarrow 2\pi x + 8x = 8L \Rightarrow x(2\pi+8) = 8L \Rightarrow x = \frac{8L}{2\pi+8} = \frac{4L}{\pi+4}.
42 puncte
Verificarea că x=4Lπ+4x = \frac{4L}{\pi+4} dă un minim. Se studiază semnul derivatei: pentru x<4Lπ+4x < \frac{4L}{\pi+4}, A′(x)<0A'(x) < 0 (funcția descrescătoare), iar pentru x>4Lπ+4x > \frac{4L}{\pi+4}, A′(x)>0A'(x) > 0 (funcția crescătoare), deci punctul este de minim.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.