MediuAsimptoteClasa 12

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx−1f(x) = \frac{\ln x}{x} - 1. Determinați asimptotele graficului funcției. Apoi calculați aria regiunii mărginite de graficul funcției, asimptota orizontală și dreptele x=1x=1 și x=e2x=e^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea asimptotelor: asimptota verticală x=0x=0 deoarece lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x\to0^+} f(x) = -\infty, și asimptota orizontală y=−1y=-1 deoarece lim⁡x→∞f(x)=−1\lim_{x\to\infty} f(x) = -1.
24 puncte
Stabilirea expresiei ariei: aria este ∫1e2[f(x)−(−1)]dx=∫1e2ln⁡xxdx\int_{1}^{e^2} [f(x) - (-1)] dx = \int_{1}^{e^2} \frac{\ln x}{x} dx.
33 puncte
Calculul integralei: cu substituția u=ln⁡xu=\ln x, du=dxxdu=\frac{dx}{x}, se obține ∫ln⁡xxdx=(ln⁡x)22+C\int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C, deci aria =[(ln⁡x)22]1e2=(ln⁡e2)22−(ln⁡1)22=42−0=2= \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_{1}^{e^2} = \frac{(\ln e^2)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.