MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2+1)x+x2+1−xf(x) = \frac{\ln(x^2+1)}{x} + \sqrt{x^2+1} - x. Studiați existența asimptotelor către +∞+\infty pentru funcția ff și determinați ecuațiile acestora, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Calculăm limita lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x) pentru a verifica asimptotă orizontală. lim⁡x→+∞ln⁡(x2+1)x=lim⁡x→+∞2x/(x2+1)1=0\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2+1)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x/(x^2+1)}{1} = 0 (regula lui L'Hôpital sau comparații). lim⁡x→+∞(x2+1−x)=lim⁡x→+∞1x2+1+x=0\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+1} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} = 0. Deci lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, deci asimptotă orizontală y=0y=0.
24 puncte
Verificăm asimptotă oblică. Calculăm m=lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(ln⁡(x2+1)x2+x2+1−xx)=0+0=0m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{\ln(x^2+1)}{x^2} + \frac{\sqrt{x^2+1} - x}{x}\right) = 0 + 0 = 0, deci m=0m=0 (corespunde orizontalei).
34 puncte
Analizăm posibile asimptote verticale în domeniu. Pentru x→0+x \to 0^+, f(x)→ln⁡(1)0+1−0f(x) \to \frac{\ln(1)}{0} + 1 - 0, dar 00\frac{0}{0} nu este definit; calculăm lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡(x2+1)x+1=lim⁡x→0+2x/(x2+1)1+1=0+1=1\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x^2+1)}{x} + 1 = \lim_{x \to 0^+} \frac{2x/(x^2+1)}{1} + 1 = 0 + 1 = 1 (finit), deci nu există asimptotă verticală în 00. Concluzie: Singura asimptotă este orizontală y=0y=0 la +∞+\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.