MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {(a+1)x+2y=33x+(a−1)y=a\begin{cases} (a+1)x + 2y = 3 \\ 3x + (a-1)y = a \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile parametrului aa pentru care sistemul are soluție unică, infinit de soluții sau nu are soluție. Găsiți soluția sistemului când aceasta este unică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea matricei extinse a sistemului și calculul determinantului matricei coeficienților: D=∣a+123a−1∣=(a+1)(a−1)−6=a2−7D = \begin{vmatrix} a+1 & 2 \\ 3 & a-1 \end{vmatrix} = (a+1)(a-1) - 6 = a^2 - 7.
24 puncte
Discuția valorilor parametrului aa: dacă D≠0D \neq 0, adică a≠±7a \neq \pm\sqrt{7}, sistemul are soluție unică; dacă D=0D = 0 și rangul matricei extinse este egal cu rangul matricei coeficienților (de exemplu, pentru a=7a = \sqrt{7} sau a=−7a = -\sqrt{7}, se verifică consistența), sistemul are infinit de soluții sau nu are soluție; se analizează cazurile particulare.
33 puncte
Rezolvarea sistemului pentru soluția unică, de exemplu prin regula lui Cramer sau substituție: pentru a≠±7a \neq \pm\sqrt{7}, x=∣32aa−1∣Dx = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ a & a-1 \end{vmatrix}}{D}, y=∣a+133a∣Dy = \frac{\begin{vmatrix} a+1 & 3 \\ 3 & a \end{vmatrix}}{D}, și se simplifică expresiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.