MediuContinuitateClasa 12

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateIntegrale definitePrimitive
Fie f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R} o funcție continuă cu proprietatea că f(x)=1+∫0xf(t)dtf(x) = 1 + \int_0^x f(t) dt pentru orice x∈[0,1]x \in [0,1]. a) Demonstrați că ff este derivabilă și determinați f′(x)f'(x). b) Rezolvați ecuația pentru a găsi expresia explicită a lui f(x)f(x). c) Calculați ∫01f(x)dx\int_0^1 f(x) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Deoarece ff este continuă, funcția F(x)=∫0xf(t)dtF(x) = \int_0^x f(t) dt este derivabilă și F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). Din f(x)=1+F(x)f(x) = 1 + F(x), derivăm ambii membri: f′(x)=F′(x)=f(x)f'(x) = F'(x) = f(x), deci f′(x)=f(x)f'(x) = f(x).
23 puncte
Ecuația diferențială f′(x)=f(x)f'(x) = f(x) are soluția generală f(x)=Cexf(x) = Ce^x, unde C∈RC \in \mathbb{R}. Din condiția inițială: pentru x=0x=0, f(0)=1+∫00f(t)dt=1f(0) = 1 + \int_0^0 f(t) dt = 1, deci C⋅e0=1⇒C=1C \cdot e^0 = 1 \Rightarrow C=1. Așadar, f(x)=exf(x) = e^x.
33 puncte
Calculați ∫01f(x)dx=∫01exdx=ex∣01=e−1\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 e^x dx = e^x \big|_0^1 = e - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.