MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctele de extrem local și valorile extreme globale pe intervalul [−1,3][-1,3]. c) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul derivatelor: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x, f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
22 puncte
Studiul semnului lui f′f': f′(x)=0f'(x)=0 pentru x=0x=0 și x=2x=2; ff crescătoare pe (−∞,0]∪[2,∞)(-\infty,0] \cup [2,\infty), descrescătoare pe [0,2][0,2].
32 puncte
Convexitatea: f′′(x)=0f''(x)=0 la x=1x=1; ff concavă pe (−∞,1)(-\infty,1), convexă pe (1,∞)(1,\infty).
42 puncte
Puncte de extrem local: maxim local la x=0x=0, f(0)=4f(0)=4; minim local la x=2x=2, f(2)=0f(2)=0. Pe [−1,3][-1,3]: f(−1)=0f(-1)=0, f(3)=4f(3)=4; minim global 0 la x=2x=2 și x=−1x=-1, maxim global 4 la x=0x=0 și x=3x=3.
52 puncte
Tangenta în x=2x=2: f′(2)=0f'(2)=0, punctul (2,0)(2,0), ecuația y=0y=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.