MediuLogică matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăTeoria Mulțimilor
Fie AA și BB două mulțimi. Se consideră propozițiile: p:x∈A∪Bp: x \in A \cup B, q:x∈A∩Bq: x \in A \cap B, r:x∈A∖Br: x \in A \setminus B. Să se determine mulțimea BB știind că pentru orice xx, propoziția (p⇒q)∨r(p \Rightarrow q) \vee r este adevărată, iar A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} și BB are cel mult 3 elemente din mulțimea {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Analizarea propoziției (p⇒q)∨r(p \Rightarrow q) \vee r. Pentru orice xx, această propoziție este adevărată dacă (p⇒q)(p \Rightarrow q) este adevărată sau rr este adevărată. p⇒qp \Rightarrow q este falsă doar când pp este adevărată și qq este falsă, adică x∈A∪Bx \in A \cup B și x∉A∩Bx \notin A \cap B.
23 puncte
Determinarea condițiilor asupra mulțimilor. Dacă x∈A∖Bx \in A \setminus B, atunci rr este adevărată, deci propoziția este adevărată. Dacă x∉A∖Bx \notin A \setminus B, atunci rr este falsă, așa că (p⇒q)(p \Rightarrow q) trebuie să fie adevărată. Aceasta înseamnă că pentru x∉A∖Bx \notin A \setminus B, nu poate avea loc x∈A∪Bx \in A \cup B și x∉A∩Bx \notin A \cap B.
32 puncte
Interpretarea în termeni de mulțimi. x∉A∖Bx \notin A \setminus B înseamnă x∉Ax \notin A sau x∈Bx \in B. Pentru astfel de xx, condiția impusă este că dacă x∈A∪Bx \in A \cup B, atunci x∈A∩Bx \in A \cap B. Aceasta implică că A∪B⊆A∩BA \cup B \subseteq A \cap B, deci A∪B=A∩BA \cup B = A \cap B, ceea ce înseamnă A=BA = B.
42 puncte
Aplicarea la A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}. Deoarece A=BA = B, avem B={1,2,3}B = \{1, 2, 3\}, care are 3 elemente din {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}, satisfăcând condiția de cel mult 3 elemente. Verificare: Pentru x∈A∖B=∅x \in A \setminus B = \emptyset, rr fals, dar A=BA = B asigură că p⇒qp \Rightarrow q este adevărată pentru orice xx (deoarece A∪B=A∩BA \cup B = A \cap B).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.