MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateAplicații ale derivatelor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex2−4xf(x)=e^{x^2-4x}. a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. b) Studiați convexitatea/concavitatea funcției ff pe R\mathbb{R}. c) Demonstrați că pentru orice a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}, are loc inegalitatea f(a)+f(b)≥2f(a+b2)f(a)+f(b) \geq 2f\left(\frac{a+b}{2}\right), folosind proprietățile de monotonie și convexitate stabilite.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi f′(x)=2(x−2)ex2−4xf'(x)=2(x-2)e^{x^2-4x}, semnul: f′(x)<0f'(x)<0 pe (−∞,2)(-\infty,2) (descrescătoare), f′(x)>0f'(x)>0 pe (2,∞)(2,\infty) (crescătoare).
24 puncte
Calculul derivatei a doua f′′(x)=2(2x2−8x+9)ex2−4xf''(x)=2(2x^2-8x+9)e^{x^2-4x}; discriminantul ecuației 2x2−8x+9=02x^2-8x+9=0 este negativ, deci f′′(x)>0f''(x)>0 pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}, funcția este convexă pe R\mathbb{R}.
33 puncte
Convexitatea implică f(a+b2)≤f(a)+f(b)2f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}, adică f(a)+f(b)≥2f(a+b2)f(a)+f(b) \geq 2f\left(\frac{a+b}{2}\right). Egalitatea are loc dacă a=ba=b, datorită proprietăților funcțiilor convexe.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.