MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2+1}. a) Studiați monotonie și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctele de extrem local și punctele de inflexiune. c) Demonstrați că ∣f(x)∣≤12|f(x)| \leq \frac{1}{2} pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează f′(x)=1−x2(x2+1)2f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}. Semnul lui f′(x)f'(x): pozitiv pentru x∈(−1,1)x \in (-1, 1), negativ pentru x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty). Deci ff este crescătoare pe [−1,1][-1, 1] și descrescătoare pe (−∞,−1]∪[1,∞)(-\infty, -1] \cup [1, \infty). Se calculează f′′(x)=2x(x2−3)(x2+1)3f''(x) = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}. Semnul lui f′′(x)f''(x): pozitiv pentru x∈(−3,0)∪(3,∞)x \in (-\sqrt{3}, 0) \cup (\sqrt{3}, \infty), negativ pentru x∈(−∞,−3)∪(0,3)x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3}). Deci ff este convexă pe [−3,0]∪[3,∞)[-\sqrt{3}, 0] \cup [\sqrt{3}, \infty) și concavă pe (−∞,−3]∪[0,3](-\infty, -\sqrt{3}] \cup [0, \sqrt{3}].
23 puncte
Din semnul lui f′(x)f'(x), la x=−1x=-1 și x=1x=1 avem extreme locale: maxim la x=1x=1 cu f(1)=12f(1)=\frac{1}{2}, minim la x=−1x=-1 cu f(−1)=−12f(-1)=-\frac{1}{2}. Puncte de inflexiune la x=0x=0, x=3x=\sqrt{3}, x=−3x=-\sqrt{3}, unde f′′(x)f''(x) schimbă semnul.
33 puncte
Pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, folosind inegalitatea x2+1≥2∣x∣x^2+1 \geq 2|x| (din inegalitatea mediilor), avem ∣f(x)∣=∣x∣x2+1≤∣x∣2∣x∣=12|f(x)| = \frac{|x|}{x^2+1} \leq \frac{|x|}{2|x|} = \frac{1}{2}, cu egalitate atunci când x=±1x = \pm 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.