MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareNumere ComplexeMatrici
Se consideră numerele complexe a,b,c∈Ca, b, c \in \mathbb{C}. Să se rezolve sistemul de ecuații liniare în necunoscutele x,y,zx, y, z: {(1+i)x+y−z=ax+(1−i)y+z=b2x−y+(2+i)z=c\begin{cases} (1+i)x + y - z = a \\ x + (1-i)y + z = b \\ 2x - y + (2+i)z = c \end{cases} și să se determine condițiile pe care trebuie să le îndeplinească a,b,ca, b, c pentru ca sistemul să aibă soluție.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie sistemul sub formă matriceală: A⋅X=BA \cdot X = B, unde A=(1+i1−111−i12−12+i)A = \begin{pmatrix} 1+i & 1 & -1 \\ 1 & 1-i & 1 \\ 2 & -1 & 2+i \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(abc)B = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}. Se calculează determinantul lui AA: det⁡(A)=(1+i)((1−i)(2+i)−1)−1(1(2+i)−2)−(−1)(1(−1)−2(1−i))=0\det(A) = (1+i)((1-i)(2+i) - 1) - 1(1(2+i) - 2) - (-1)(1(-1) - 2(1-i)) = 0.
24 puncte
Se determină rangul matricei AA (care este 2) și rangul matricei extinse [A∣B][A|B]; condiția de compatibilitate (Kronecker-Capelli) este ca rang(A)=rang([A∣B])\text{rang}(A) = \text{rang}([A|B]), ceea ce implică o relație liniară între a,b,ca, b, c: a−(1+2i)b+c=0a - (1+2i)b + c = 0.
33 puncte
Dacă condiția este îndeplinită, sistemul este compatibil nedeterminat; se exprimă soluțiile în funcție de un parametru, de exemplu, se ia z=t∈Cz = t \in \mathbb{C} și se rezolvă pentru xx și yy din primele două ecuații.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.