MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve în mulțimea numerelor naturale ecuația Cx2+Cx3=4xC_x^2 + C_x^3 = 4x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrie ecuația folosind formula combinărilor: Cx2=x(x−1)2C_x^2 = \frac{x(x-1)}{2} și Cx3=x(x−1)(x−2)6C_x^3 = \frac{x(x-1)(x-2)}{6} pentru x≥2x \geq 2 și x≥3x \geq 3 respectiv, iar pentru x<2x < 2 sau x<3x < 3, Cxk=0C_x^k = 0. Ecuația devine x(x−1)2+x(x−1)(x−2)6=4x\frac{x(x-1)}{2} + \frac{x(x-1)(x-2)}{6} = 4x.
25 puncte
Simplifică ecuația: Înmulțește cu 6: 3x(x−1)+x(x−1)(x−2)=24x3x(x-1) + x(x-1)(x-2) = 24x. Factorizează xx: x[3(x−1)+(x−1)(x−2)−24]=0x[3(x-1) + (x-1)(x-2) - 24] = 0, deci x=0x=0 sau 3(x−1)+(x−1)(x−2)−24=03(x-1) + (x-1)(x-2) - 24 = 0. Rezolvă a doua ecuație: (x−1)(3+x−2)−24=0(x-1)(3 + x-2) - 24 = 0 ⇒\Rightarrow (x−1)(x+1)−24=0(x-1)(x+1) - 24 = 0 ⇒\Rightarrow x2−1−24=0x^2 - 1 - 24 = 0 ⇒\Rightarrow x2=25x^2 = 25 ⇒\Rightarrow x=±5x = \pm 5.
32 puncte
Verifică soluțiile în condițiile naturale: Pentru x=0x=0, C02=0C_0^2=0, C03=0C_0^3=0, ecuația devine 0=00=0, deci x=0x=0 este soluție. Pentru x=5x=5, C52=10C_5^2=10, C53=10C_5^3=10, 10+10=20=4⋅510+10=20=4\cdot5, adevărat. x=−5x=-5 nu este natural. Deci soluțiile sunt x=0x=0 și x=5x=5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.