MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorContinuitate
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx−1f(x) = \frac{\ln x}{x-1}. Determinați asimptotele funcției și studiați continuitatea în punctul x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea asimptotei verticale. Calculăm lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡xx−1\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x-1}. Când x→0+x \to 0^+, ln⁡x→−∞\ln x \to -\infty și x−1→−1x-1 \to -1, deci limita este +∞+\infty. Dreapta x=0x=0 este asimptotă verticală.
23 puncte
Determinarea asimptotei orizontale. Calculăm lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞ln⁡xx−1\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x-1}. Deoarece ln⁡x\ln x crește mai lent decât orice putere a lui xx, lim⁡x→∞ln⁡xx=0\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0, deci lim⁡x→∞ln⁡xx−1=0\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x-1} = 0. Dreapta y=0y=0 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty.
34 puncte
Studiul continuității în x=1x=1. Funcția nu este definită în x=1x=1. Calculăm lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1ln⁡xx−1\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}. Folosind regula lui l'Hôpital sau limita remarcabilă, lim⁡x→1ln⁡xx−1=1\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1. Limita există și este finită, dar f(1)f(1) nu este definită, deci funcția are o discontinuitate evitabilă în x=1x=1. Dacă s-ar defini f(1)=1f(1)=1, funcția ar fi continuă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.