MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cx−1f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x-1}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați a,b,ca, b, c astfel încât funcția să aibă asimptota oblică y=3x−2y = 3x - 2 și asimptota verticală x=1x = 1. Este soluția unică? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru asimptota verticală x=1x = 1, limita funcției când x→1x \to 1 trebuie să fie infinită. Deoarece numitorul se anulează în x=1x=1, numărătorul nu trebuie să se anuleze în x=1x=1, adică a⋅12+b⋅1+c≠0a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \neq 0, deci a+b+c≠0a + b + c \neq 0.
23 puncte
Pentru asimptota oblică, calculăm m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞ax2+bx+cx(x−1)=am = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{ax^2 + bx + c}{x(x-1)} = a. Pentru a avea y=3x−2y = 3x - 2, trebuie m=3m = 3, deci a=3a = 3.
33 puncte
Calculăm n=lim⁡x→±∞[f(x)−3x]=lim⁡x→±∞[3x2+bx+cx−1−3x]=lim⁡x→±∞(b+3)x+cx−1=b+3n = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - 3x] = \lim_{x \to \pm \infty} \left[ \frac{3x^2 + bx + c}{x-1} - 3x \right] = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{(b+3)x + c}{x-1} = b+3. Pentru a avea n=−2n = -2, trebuie b+3=−2b+3 = -2, deci b=−5b = -5.
42 puncte
Din condiția pentru asimptota verticală, a+b+c≠0a + b + c \neq 0 devine 3−5+c≠03 - 5 + c \neq 0, adică c≠2c \neq 2. Astfel, a=3a=3, b=−5b=-5, și c∈R∖{2}c \in \mathbb{R} \setminus \{2\}. Soluția nu este unică deoarece cc poate fi orice număr real diferit de 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.