MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăȘiruri de numere reale
Fie șirul (an)n∈N∗(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=3an+2n−1a_{n+1} = 3a_n + 2n - 1 pentru n≥1n \ge 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2⋅3n−1−na_n = 2 \cdot 3^{n-1} - n pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Verificați dacă suma primilor nn termeni ai șirului este un număr divizibil cu 3 pentru n≥2n \ge 2. (Se cere demonstrația prin inducție a formulei termenului general și analiza sumei.)

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1n=1: a1=1a_1 = 1 și 2⋅30−1=2⋅1−1=12 \cdot 3^{0} - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1, adevărat.
24 puncte
Presupunem formula adevărată pentru n=kn=k: ak=2⋅3k−1−ka_k = 2 \cdot 3^{k-1} - k. Demonstrația pentru n=k+1n=k+1: ak+1=3ak+2k−1=3(2⋅3k−1−k)+2k−1=2⋅3k−3k+2k−1=2⋅3k−k−1=2⋅3(k+1)−1−(k+1)a_{k+1} = 3a_k + 2k - 1 = 3(2 \cdot 3^{k-1} - k) + 2k - 1 = 2 \cdot 3^k - 3k + 2k - 1 = 2 \cdot 3^k - k - 1 = 2 \cdot 3^{(k+1)-1} - (k+1).
32 puncte
Suma Sn=a1+a2+⋯+an=∑i=1n(2⋅3i−1−i)=2∑i=1n3i−1−∑i=1ni=2⋅3n−13−1−n(n+1)2=3n−1−n(n+1)2S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{i=1}^n (2 \cdot 3^{i-1} - i) = 2 \sum_{i=1}^n 3^{i-1} - \sum_{i=1}^n i = 2 \cdot \frac{3^n - 1}{3-1} - \frac{n(n+1)}{2} = 3^n - 1 - \frac{n(n+1)}{2}.
42 puncte
Pentru n≥2n \ge 2, analizăm divizibilitatea cu 3: 3n−13^n - 1 este divizibil cu 3 doar dacă restul împărțirii la 3 este 0. 3n3^n este divizibil cu 3, deci 3n−13^n - 1 are restul 2 la împărțirea cu 3. n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} este întreg, dar nu necesar divizibil cu 3. De exemplu, pentru n=2n=2, S2=32−1−2⋅32=9−1−3=5S_2 = 3^2 - 1 - \frac{2 \cdot 3}{2} = 9 - 1 - 3 = 5, care nu este divizibil cu 3. Concluzie: suma nu este divizibilă cu 3 pentru toate n≥2n \ge 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.