MediuLogică matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăNumere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} un număr complex. Considerăm propozițiile: P(z):∣z∣=1P(z): |z| = 1 și Q(z):z2+z‾=0Q(z): z^2 + \overline{z} = 0. Determinați pentru care zz propoziția P(z)→Q(z)P(z) \rightarrow Q(z) este adevărată, și discutați dacă această implicație este echivalentă cu condiția că zz este rădăcină a ecuației z3=−1z^3 = -1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimăm z=a+biz = a+bi cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}. Atunci ∣z∣=a2+b2=1|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = 1 și z2+z‾=(a+bi)2+(a−bi)=a2−b2+a+(2ab−b)iz^2 + \overline{z} = (a+bi)^2 + (a-bi) = a^2 - b^2 + a + (2ab - b)i.
24 puncte
Punem condiția z2+z‾=0z^2 + \overline{z} = 0, deci a2−b2+a=0a^2 - b^2 + a = 0 și 2ab−b=02ab - b = 0. Din 2ab−b=02ab - b = 0, avem b(2a−1)=0b(2a - 1) = 0, deci b=0b=0 sau a=12a=\frac{1}{2}. Combinăm cu a2+b2=1a^2 + b^2 = 1. Pentru b=0b=0, a2=1a^2 = 1, deci a=±1a = \pm 1. Pentru a=12a=\frac{1}{2}, 14+b2=1\frac{1}{4} + b^2 = 1, deci b2=34b^2 = \frac{3}{4}, b=±32b = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.
33 puncte
Verificăm care dintre acestea satisfac a2−b2+a=0a^2 - b^2 + a = 0. Pentru a=1,b=0a=1, b=0: 1−0+1=2≠01 - 0 + 1 = 2 \neq 0. Pentru a=−1,b=0a=-1, b=0: 1−0−1=01 - 0 - 1 = 0, adevărat. Pentru a=12,b=±32a=\frac{1}{2}, b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}: 14−34+12=0\frac{1}{4} - \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = 0, adevărat. Deci soluțiile pentru Q(z)Q(z) sub P(z)P(z) sunt z=−1z = -1 și z=12±32iz = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i. Implicația P(z)→Q(z)P(z) \rightarrow Q(z) este adevărată pentru orice zz care nu are ∣z∣=1|z| = 1 (falsul antecedent) și pentru aceste soluții. Discuție: Condiția z3=−1z^3 = -1 are soluțiile z=−1z = -1, z=12+32iz = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, și z=12−32iz = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i, care coincid exact cu soluțiile găsite, deci implicația este echivalentă cu z3=−1z^3 = -1 sub ipoteza ∣z∣=1|z| = 1, dar nu în general.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.