MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăIdentități algebrice
Demonstrați că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc identitatea: ∑k=0n(nk)2=(2nn)\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că (2nn)\binom{2n}{n} numără modalitățile de a alege nn elemente dintr-o mulțime cu 2n2n elemente. Considerăm o partiție a mulțimii în două submulțimi de câte nn elemente fiecare.
25 puncte
Pentru a alege nn elemente din cele 2n2n, putem alege kk elemente din prima submulțime și n−kn-k din a doua, pentru kk de la 0 la nn. Numărul de moduri este ∑k=0n(nk)(nn−k)=∑k=0n(nk)2\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \binom{n}{n-k} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2, deoarece (nn−k)=(nk)\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}.
32 puncte
Prin urmare, ∑k=0n(nk)2=(2nn)\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}, ceea ce demonstrează identitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.