MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăTrigonometrie
Folosind inducția matematică, demonstrați că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1 și pentru orice θ≠kπ\theta \neq k\pi, unde k∈Zk \in \mathbb{Z}, are loc identitatea: cos⁡(θ)+cos⁡(3θ)+⋯+cos⁡((2n−1)θ)=sin⁡(2nθ)2sin⁡(θ)\cos(\theta) + \cos(3\theta) + \cdots + \cos((2n-1)\theta) = \frac{\sin(2n\theta)}{2\sin(\theta)}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică cazul de bază pentru n=1n=1: cos⁡(θ)=sin⁡(2θ)2sin⁡(θ)\cos(\theta) = \frac{\sin(2\theta)}{2\sin(\theta)}, care este adevărată deoarece sin⁡(2θ)=2sin⁡(θ)cos⁡(θ)\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta).
23 puncte
Se presupune că identitatea este adevărată pentru n=kn=k (ipoteza inductivă), adică ∑j=1kcos⁡((2j−1)θ)=sin⁡(2kθ)2sin⁡(θ)\sum_{j=1}^{k} \cos((2j-1)\theta) = \frac{\sin(2k\theta)}{2\sin(\theta)}.
35 puncte
Se demonstrează pentru n=k+1n=k+1: ∑j=1k+1cos⁡((2j−1)θ)=sin⁡(2kθ)2sin⁡(θ)+cos⁡((2k+1)θ)\sum_{j=1}^{k+1} \cos((2j-1)\theta) = \frac{\sin(2k\theta)}{2\sin(\theta)} + \cos((2k+1)\theta). Folosind formula cos⁡(a)+cos⁡(b)=2cos⁡(a+b2)cos⁡(a−b2)\cos(a) + \cos(b) = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) și identități trigonometrice, se transformă: sin⁡(2kθ)2sin⁡(θ)+cos⁡((2k+1)θ)=sin⁡(2kθ)+2sin⁡(θ)cos⁡((2k+1)θ)2sin⁡(θ)\frac{\sin(2k\theta)}{2\sin(\theta)} + \cos((2k+1)\theta) = \frac{\sin(2k\theta) + 2\sin(\theta)\cos((2k+1)\theta)}{2\sin(\theta)}. Aplicând formula sin⁡(A)+sin⁡(B)=2sin⁡(A+B2)cos⁡(A−B2)\sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) cu A=2kθA=2k\theta și B=2θB=2\theta, se obține 2sin⁡((2k+1)θ)cos⁡(θ)2sin⁡(θ)=sin⁡(2(k+1)θ)2sin⁡(θ)\frac{2\sin((2k+1)\theta)\cos(\theta)}{2\sin(\theta)} = \frac{\sin(2(k+1)\theta)}{2\sin(\theta)}, ceea ce demonstrează afirmația pentru n=k+1n=k+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.