MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareTrigonometrie
Rezolvați sistemul de ecuații: {sin⁡(x)+cos⁡(y)=0sin⁡(y)+cos⁡(x)=2\begin{cases} \sin(x) + \cos(y) = 0 \\ \sin(y) + \cos(x) = \sqrt{2} \end{cases} pentru x,y∈[0,2π)x, y \in [0, 2\pi).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din prima ecuație, sin⁡(x)=−cos⁡(y)\sin(x) = -\cos(y).
23 puncte
Folosind identitatea sin⁡2(α)+cos⁡2(α)=1\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1, avem sin⁡2(y)=1−cos⁡2(y)=1−sin⁡2(x)=cos⁡2(x)\sin^2(y) = 1 - \cos^2(y) = 1 - \sin^2(x) = \cos^2(x), deci sin⁡(y)=±cos⁡(x)\sin(y) = \pm \cos(x).
33 puncte
Substituiți în a doua ecuație. Cazul sin⁡(y)=−cos⁡(x)\sin(y) = -\cos(x) conduce la 0=20 = \sqrt{2}, imposibil. Cazul sin⁡(y)=cos⁡(x)\sin(y) = \cos(x) dă cos⁡(x)+cos⁡(x)=2\cos(x) + \cos(x) = \sqrt{2} ⇒\Rightarrow 2cos⁡(x)=22\cos(x) = \sqrt{2} ⇒\Rightarrow cos⁡(x)=2/2\cos(x) = \sqrt{2}/2.
42 puncte
Din cos⁡(x)=2/2\cos(x) = \sqrt{2}/2, obținem x=π/4x = \pi/4 sau x=7π/4x = 7\pi/4 în [0,2π)[0,2\pi). Pentru x=π/4x = \pi/4, sin⁡(π/4)=2/2\sin(\pi/4) = \sqrt{2}/2, deci din sin⁡(x)=−cos⁡(y)\sin(x) = -\cos(y), avem cos⁡(y)=−2/2\cos(y) = -\sqrt{2}/2, deci y=3π/4y = 3\pi/4 sau 5π/45\pi/4. Verificând sin⁡(y)=cos⁡(x)\sin(y) = \cos(x), doar y=3π/4y = 3\pi/4 satisface. Similar pentru x=7π/4x = 7\pi/4, sin⁡(7π/4)=−2/2\sin(7\pi/4) = -\sqrt{2}/2, deci cos⁡(y)=2/2\cos(y) = \sqrt{2}/2, y=π/4y = \pi/4 sau 7π/47\pi/4, și doar y=π/4y = \pi/4 satisface. Soluțiile sunt (x,y)=(π/4,3π/4)(x,y) = (\pi/4, 3\pi/4) și (7π/4,π/4)(7\pi/4, \pi/4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.