MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. a) Studiați monotonia funcției ff. b) Determinați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției ff. c) Aflați punctele de extrem local și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Rezolvarea ecuației f′(x)=0f'(x)=0: 3x2−6x=0⇒x(x−2)=0⇒x=03x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 sau x=2x=2.
23 puncte
Studiul semnului derivatei întâi: pe (−∞,0)(-\infty, 0), f′(x)>0f'(x) > 0 (funcție crescătoare); pe (0,2)(0, 2), f′(x)<0f'(x) < 0 (funcție descrescătoare); pe (2,∞)(2, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0 (funcție crescătoare). Monotonia: ff este crescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0], descrescătoare pe [0,2][0, 2], crescătoare pe [2,∞)[2, \infty).
31 punct
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Rezolvarea ecuației f′′(x)=0f''(x)=0: 6x−6=0⇒x=16x-6=0 \Rightarrow x=1.
42 puncte
Studiul semnului derivatei a doua: pe (−∞,1)(-\infty, 1), f′′(x)<0f''(x) < 0 (funcție concavă); pe (1,∞)(1, \infty), f′′(x)>0f''(x) > 0 (funcție convexă). Intervale: concavă pe (−∞,1)(-\infty, 1), convexă pe (1,∞)(1, \infty).
52 puncte
Puncte de extrem: la x=0x=0, derivata întâi își schimbă semnul din + în -, deci x=0x=0 este punct de maxim local, f(0)=4f(0)=4; la x=2x=2, derivata întâi își schimbă semnul din - în +, deci x=2x=2 este punct de minim local, f(2)=0f(2)=0. Punct de inflexiune: la x=1x=1, derivata a doua își schimbă semnul, deci x=1x=1 este punct de inflexiune, f(1)=2f(1)=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.