MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați numerele naturale n și k, știind că C(n,k)=84C(n, k) = 84 și C(n,k+1)=126C(n, k+1) = 126.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem ecuațiile: C(n,k)=n!k!(n−k)!=84C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} = 84 și C(n,k+1)=n!(k+1)!(n−k−1)!=126C(n, k+1) = \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} = 126.
23 puncte
Formăm raportul: C(n,k+1)C(n,k)=12684=32\frac{C(n, k+1)}{C(n, k)} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}. Dar C(n,k+1)C(n,k)=n−kk+1\frac{C(n, k+1)}{C(n, k)} = \frac{n-k}{k+1}, deci n−kk+1=32\frac{n-k}{k+1} = \frac{3}{2}.
32 puncte
Rezolvăm ecuația: 2(n−k)=3(k+1)⇒2n−2k=3k+3⇒2n=5k+3⇒n=5k+322(n-k) = 3(k+1) \Rightarrow 2n - 2k = 3k + 3 \Rightarrow 2n = 5k + 3 \Rightarrow n = \frac{5k+3}{2}.
42 puncte
Substituim în C(n,k)=84C(n, k) = 84. Testăm valori naturale pentru k: pentru k=3, n=9, C(9,3)=84C(9,3)=84; alte valori nu verifică. Soluția este n=9, k=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.