MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateDerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x2+ax+b,daca˘ x≤2cx+d,daca˘ x>2f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b, & \text{dacă } x \leq 2 \\ cx + d, & \text{dacă } x > 2 \end{cases}. Știind că ff este continuă și derivabilă în x=2x=2, f′(2)=3f'(2)=3 și f(0)=1f(0)=1, determinați parametrii reali a,b,c,da, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem condiția de continuitate în x=2x=2: lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)=f(2)\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2). Calculăm: pentru x≤2x \leq 2, f(2)=4+2a+bf(2)=4+2a+b; pentru x>2x>2, lim⁡x→2+f(x)=2c+d\lim_{x \to 2^+} f(x)=2c+d. Obținem 4+2a+b=2c+d4+2a+b=2c+d.
22 puncte
Scriem condiția de derivabilitate în x=2x=2: derivata la stânga egală cu derivata la dreapta. Pentru x≤2x \leq 2, f′(x)=2x+af'(x)=2x+a, deci f′(2−)=4+af'(2^-)=4+a. Pentru x>2x>2, f′(x)=cf'(x)=c, deci f′(2+)=cf'(2^+)=c. Din f′(2)=3f'(2)=3, avem 4+a=34+a=3 și c=3c=3, deci a=−1a=-1 și c=3c=3.
32 puncte
Din f(0)=1f(0)=1, pentru x≤2x \leq 2, f(0)=02+a⋅0+b=bf(0)=0^2 + a \cdot 0 + b = b, deci b=1b=1.
44 puncte
Substituim a=−1a=-1, b=1b=1, c=3c=3 în condiția de continuitate: 4+2(−1)+1=2(3)+d⇒3=6+d⇒d=−34+2(-1)+1=2(3)+d \Rightarrow 3=6+d \Rightarrow d=-3. Verificăm: parametrii sunt a=−1a=-1, b=1b=1, c=3c=3, d=−3d=-3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.