MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiStudiul funcțiilor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+ln⁡(x)xf(x) = \frac{x^2 + \ln(x)}{x}. Determinați asimptotele funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea asimptotei verticale. Se calculează lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+x2+ln⁡(x)x=lim⁡x→0+(x+ln⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 + \ln(x)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \left( x + \frac{\ln(x)}{x} \right). Deoarece ln⁡(x)→−∞\ln(x) \to -\infty și x→0+x \to 0^+, ln⁡(x)x→−∞\frac{\ln(x)}{x} \to -\infty, deci lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty. Astfel, x=0x = 0 este asimptotă verticală.
24 puncte
Determinarea asimptotei oblice la x→+∞x \to +\infty. Se calculează m=lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x2+ln⁡(x)x2=lim⁡x→+∞(1+ln⁡(x)x2)=1m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + \ln(x)}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{\ln(x)}{x^2} \right) = 1. Apoi n=lim⁡x→+∞[f(x)−mx]=lim⁡x→+∞(x2+ln⁡(x)x−x)=lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=0n = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + \ln(x)}{x} - x \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0. Deci asimptota oblică este y=xy = x.
33 puncte
Verificarea și enunțarea concluziilor. Se confirmă că funcția are asimptotă verticală x=0x = 0 și asimptotă oblică y=xy = x la x→+∞x \to +\infty, și se discută scurt comportamentul funcției în vecinătatea acestora.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.