MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăȘiruri de numere realeIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1n(2k−1)2=n(2n−1)(2n+1)3\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică cazul de bază pentru n=1n=1: ∑k=11(2⋅1−1)2=12=1\sum_{k=1}^{1} (2\cdot1-1)^2 = 1^2 = 1 și 1(2⋅1−1)(2⋅1+1)3=1⋅1⋅33=1\frac{1(2\cdot1-1)(2\cdot1+1)}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3} = 1, deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Se presupune că egalitatea este adevărată pentru n=pn=p (ipoteza inductivă), adică ∑k=1p(2k−1)2=p(2p−1)(2p+1)3\sum_{k=1}^{p} (2k-1)^2 = \frac{p(2p-1)(2p+1)}{3}.
35 puncte
Se demonstrează pentru n=p+1n=p+1: ∑k=1p+1(2k−1)2=∑k=1p(2k−1)2+(2(p+1)−1)2=p(2p−1)(2p+1)3+(2p+1)2\sum_{k=1}^{p+1} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{p} (2k-1)^2 + (2(p+1)-1)^2 = \frac{p(2p-1)(2p+1)}{3} + (2p+1)^2. Se simplifică expresia: p(2p−1)(2p+1)+3(2p+1)23=(2p+1)[p(2p−1)+3(2p+1)]3=(2p+1)(2p2−p+6p+3)3=(2p+1)(2p2+5p+3)3=(2p+1)(p+1)(2p+3)3=(p+1)(2(p+1)−1)(2(p+1)+1)3\frac{p(2p-1)(2p+1) + 3(2p+1)^2}{3} = \frac{(2p+1)[p(2p-1) + 3(2p+1)]}{3} = \frac{(2p+1)(2p^2 - p + 6p + 3)}{3} = \frac{(2p+1)(2p^2 + 5p + 3)}{3} = \frac{(2p+1)(p+1)(2p+3)}{3} = \frac{(p+1)(2(p+1)-1)(2(p+1)+1)}{3}, ceea ce completează demonstrația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.