MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorDomeniul de definiție al funcțiilor
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+3x−1f(x) = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}. Determinați asimptotele funcției ff și studiați poziția graficului funcției față de aceste asimptote.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție este R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} deoarece numitorul se anulează la x=1x=1. Funcția este discontinuă în x=1x=1.
22 puncte
Calculăm lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1x2−2x+3x−1=20=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} = \frac{2}{0} = \infty, deci dreapta x=1x=1 este asimptotă verticală.
34 puncte
Pentru asimptota oblică, calculăm m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x2−2x+3x(x−1)=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 2x + 3}{x(x-1)} = 1 și n=lim⁡x→±∞[f(x)−mx]=lim⁡x→±∞(x2−2x+3x−1−x)=−1n = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - m x] = \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{x^2 - 2x + 3}{x-1} - x \right) = -1, deci asimptota oblică este y=x−1y = x - 1.
42 puncte
Poziția graficului: f(x)−(x−1)=−x+3x−1f(x) - (x-1) = \frac{-x+3}{x-1}. Pentru x>3x > 3, diferența este negativă, deci graficul este sub asimptotă; pentru 1<x<31 < x < 3, pozitivă, deci graficul este deasupra; pentru x<1x < 1, semnul depinde de xx, de exemplu pentru x→−∞x \to -\infty, diferența tinde la 0−0^-, graficul apropiindu-se de asimptotă din jos.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.