MediuIdentități algebriceClasa 9

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebricePolinoame
Demonstrați că pentru orice numere reale xx, yy, zz, are loc identitatea: (x+y+z)3−x3−y3−z3=3(x+y)(y+z)(z+x)(x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Dezvoltați (x+y+z)3(x+y+z)^3 folosind formula algebrică: (x+y+z)3=x3+y3+z3+3(x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y)+6xyz(x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y) + 6xyz.
24 puncte
Scădeți x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3 și simplificați expresia: (x+y+z)3−x3−y3−z3=3(x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y+2xyz)(x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3 = 3(x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y + 2xyz). Factorizați această expresie ca 3(x+y)(y+z)(z+x)3(x+y)(y+z)(z+x), folosind identități de factorizare.
32 puncte
Concluzionați că identitatea este adevărată pentru orice xx, yy, zz reale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.