MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+ay+z=1ax+y+z=2x+y+az=3\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ ax + y + z = 2 \\ x + y + az = 3 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică, folosind determinanți.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți matricea coeficienților B=(1a1a1111a)B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} și calculați determinantul Δ=det⁡(B)\Delta = \det(B). Aplicând regula lui Sarrus: Δ=1⋅1⋅a+a⋅1⋅1+1⋅a⋅1−1⋅1⋅1−a⋅a⋅a−1⋅1⋅1=a+a+a−1−a3−1=3a−a3−2\Delta = 1\cdot1\cdot a + a\cdot1\cdot1 + 1\cdot a\cdot1 - 1\cdot1\cdot1 - a\cdot a\cdot a - 1\cdot1\cdot1 = a + a + a - 1 - a^3 - 1 = 3a - a^3 - 2. \
23 puncte
Condiția pentru soluție unică este Δ≠0\Delta \neq 0, adică 3a−a3−2≠03a - a^3 - 2 \neq 0. \
34 puncte
Rezolvați inecuația 3a−a3−2≠03a - a^3 - 2 \neq 0. Factorizați expresia: −a3+3a−2=−(a3−3a+2)-a^3 + 3a - 2 = -(a^3 - 3a + 2). Testați rădăcini raționale: pentru a=1a=1, 13−3⋅1+2=01^3 - 3\cdot1 + 2 = 0, deci a−1a-1 este factor. Efectuați împărțirea: a3−3a+2=(a−1)(a2+a−2)=(a−1)(a−1)(a+2)=(a−1)2(a+2)a^3 - 3a + 2 = (a-1)(a^2 + a - 2) = (a-1)(a-1)(a+2) = (a-1)^2(a+2). Astfel, Δ=−(a−1)2(a+2)\Delta = -(a-1)^2(a+2). Condiția Δ≠0\Delta \neq 0 implică (a−1)2(a+2)≠0(a-1)^2(a+2) \neq 0, deci a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2. Valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică sunt a∈R∖{−2,1}a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.