MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−x+1f(x) = x\ln x - x + 1. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. Determinați intervalele pe care funcția este convexă/concavă și punctele de extrem local, dacă există. Apoi, folosind proprietățile de convexitate, demonstrați că pentru orice x,y>0x, y > 0 cu x≠yx \neq y, are loc inegalitatea x+y2ln⁡(x+y2)<xln⁡x+yln⁡y2\frac{x+y}{2} \ln\left(\frac{x+y}{2}\right) < \frac{x\ln x + y\ln y}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡xf'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x. Derivata a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}.
22 puncte
Studiem monotonia: f′(x)=0⇔ln⁡x=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1. Pentru x∈(0,1)x \in (0,1), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff descrescătoare; pentru x∈(1,∞)x \in (1, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff crescătoare. Punctul x=1x=1 este punct de minim global, f(1)=0f(1)=0.
32 puncte
Studiem convexitatea: f′′(x)=1x>0f''(x) = \frac{1}{x} > 0 pentru x>0x > 0, deci ff este strict convexă pe (0,∞)(0, \infty). Nu există puncte de inflexiune.
44 puncte
Folosim definiția convexității: pentru o funcție convexă ff și x≠yx \neq y, avem f(x+y2)<f(x)+f(y)2f\left(\frac{x+y}{2}\right) < \frac{f(x)+f(y)}{2}. Înlocuind f(t)=tln⁡t−t+1f(t)=t\ln t - t + 1, obținem x+y2ln⁡(x+y2)−x+y2+1<xln⁡x−x+1+yln⁡y−y+12\frac{x+y}{2} \ln\left(\frac{x+y}{2}\right) - \frac{x+y}{2} + 1 < \frac{x\ln x - x + 1 + y\ln y - y + 1}{2}. Simplificând: x+y2ln⁡(x+y2)−x+y2+1<xln⁡x+yln⁡y2−x+y2+1\frac{x+y}{2} \ln\left(\frac{x+y}{2}\right) - \frac{x+y}{2} + 1 < \frac{x\ln x + y\ln y}{2} - \frac{x+y}{2} + 1. Reducem termenii comuni și obținem inegalitatea cerută.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.