MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. Să se determine intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. Apoi, să se demonstreze că f(x)≥−1/ef(x) \geq -1/e pentru orice x>0x > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1. Rezolvarea f′(x)=0f'(x) = 0 dă x=1/ex=1/e. Studiul semnului: pentru x∈(0,1/e)x \in (0, 1/e), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff descrescătoare; pentru x∈(1/e,∞)x \in (1/e, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff crescătoare.
23 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=1/xf''(x) = 1/x. Pentru x>0x>0, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
34 puncte
Demonstrarea inegalității: Din studiul monotoniei, minimul funcției este atins în x=1/ex=1/e, unde f(1/e)=(1/e)ln⁡(1/e)=−1/ef(1/e) = (1/e) \ln(1/e) = -1/e. Deoarece ff este convexă, acest minim este global. Prin urmare, f(x)≥−1/ef(x) \geq -1/e pentru orice x>0x > 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.