MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R∖{−1,1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-1,1\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3−2xx2−1+arctan⁡(x)f(x) = \frac{x^3 - 2x}{x^2 - 1} + \arctan(x). Determinați asimptotele funcției ff și scrieți ecuațiile acestora.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Simplificăm expresia: x3−2xx2−1=x−xx2−1\frac{x^3 - 2x}{x^2 - 1} = x - \frac{x}{x^2-1} (prin împărțire polinomială sau factorizare). Deci f(x)=x−xx2−1+arctan⁡(x)f(x) = x - \frac{x}{x^2-1} + \arctan(x).
23 puncte
Asimptote verticale: Când x→−1x \to -1 sau x→1x \to 1, termenul −xx2−1-\frac{x}{x^2-1} tinde la ±∞\pm\infty, iar arctan⁡(x)\arctan(x) este finit. Deci lim⁡x→−1f(x)=∞\lim_{x \to -1} f(x) = \infty și lim⁡x→1f(x)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \infty, deci asimptote verticale x=−1x=-1 și x=1x=1.
33 puncte
Asimptote oblice către ±∞\pm\infty: Calculăm m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞(1−1x2−1+arctan⁡(x)x)=1−0+0=1m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(1 - \frac{1}{x^2-1} + \frac{\arctan(x)}{x}\right) = 1 - 0 + 0 = 1. Apoi n=lim⁡x→±∞(f(x)−x)=lim⁡x→±∞(−xx2−1+arctan⁡(x))=0+lim⁡x→±∞arctan⁡(x)n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(-\frac{x}{x^2-1} + \arctan(x)\right) = 0 + \lim_{x \to \pm\infty} \arctan(x). Pentru x→+∞x \to +\infty, arctan⁡(x)→π2\arctan(x) \to \frac{\pi}{2}, deci n=π2n = \frac{\pi}{2}; pentru x→−∞x \to -\infty, arctan⁡(x)→−π2\arctan(x) \to -\frac{\pi}{2}, deci n=−π2n = -\frac{\pi}{2}.
42 puncte
Ecuațiile asimptotelor oblice: y=x+π2y = x + \frac{\pi}{2} (la +∞+\infty) și y=x−π2y = x - \frac{\pi}{2} (la −∞-\infty). Nu există asimptote orizontale deoarece m≠0m \ne 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.