MediuIdentități algebriceClasa 9

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Fie a,b,ca, b, c numere reale nenule astfel încât a+b+c=0a+b+c=0. Demonstrați că a5+b5+c55=a3+b3+c33⋅a2+b2+c22\frac{a^5 + b^5 + c^5}{5} = \frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} \cdot \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Folosind condiția a+b+c=0a+b+c=0, exprimă a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=−2(ab+bc+ca)a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = -2(ab+bc+ca).
22 puncte
Demonstrează că a3+b3+c3=3abca^3+b^3+c^3 = 3abc, utilizând identitatea a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).
33 puncte
Folosește relația de recurență pentru sumele de puteri: pentru Sn=an+bn+cnS_n = a^n+b^n+c^n, cu a+b+c=0a+b+c=0, avem Sn=−(ab+bc+ca)Sn−2+abcSn−3S_n = -(ab+bc+ca)S_{n-2} + abc S_{n-3} pentru n≥3n \geq 3. Aplică pentru n=5n=5: S5=−(ab+bc+ca)S3+abcS2S_5 = -(ab+bc+ca)S_3 + abc S_2.
42 puncte
Calculează S5S_5: S5=−(ab+bc+ca)⋅3abc+abc⋅[−2(ab+bc+ca)]=−5abc(ab+bc+ca)S_5 = -(ab+bc+ca) \cdot 3abc + abc \cdot [-2(ab+bc+ca)] = -5abc(ab+bc+ca).
51 punct
Înlocuiește în identitatea dată: S55=−5abc(ab+bc+ca)5=−abc(ab+bc+ca)\frac{S_5}{5} = \frac{-5abc(ab+bc+ca)}{5} = -abc(ab+bc+ca) și S33⋅S22=3abc3⋅−2(ab+bc+ca)2=−abc(ab+bc+ca)\frac{S_3}{3} \cdot \frac{S_2}{2} = \frac{3abc}{3} \cdot \frac{-2(ab+bc+ca)}{2} = -abc(ab+bc+ca), deci sunt egale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.