MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeLogică matematică
Folosind inducția matematică, arătați că pentru orice număr întreg n≥5n \geq 5, are loc inegalitatea 2n>n22^n > n^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=5n=5: 25=322^5 = 32 și 52=255^2 = 25, deci 32>2532 > 25, adevărat.
23 puncte
Presupunerea inductivă: se presupune că pentru un anumit k≥5k \geq 5, avem 2k>k22^k > k^2.
35 puncte
Demonstrația pentru n=k+1n=k+1: 2k+1=2⋅2k>2⋅k22^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2 \cdot k^2 (din ipoteza inductivă). Trebuie să arătăm că 2k2>(k+1)22k^2 > (k+1)^2 pentru k≥5k \geq 5. Aceasta revine la 2k2>k2+2k+12k^2 > k^2 + 2k + 1, adică k2−2k−1>0k^2 - 2k - 1 > 0. Funcția f(k)=k2−2k−1f(k) = k^2 - 2k - 1 are rădăcinile 1±21 \pm \sqrt{2}, iar pentru k≥5k \geq 5, f(k)>0f(k) > 0 (deoarece 52−2⋅5−1=25−10−1=14>05^2 - 2\cdot5 - 1 = 25 - 10 - 1 = 14 > 0). Prin urmare, 2k+1>(k+1)22^{k+1} > (k+1)^2, ceea ce completează demonstrația prin inducție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.