MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ a x + b y + c z = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}. a) Determinați determinantul sistemului. b) Precizați condițiile în care sistemul este compatibil determinat. c) În cazul în care sistemul este compatibil determinat, aflați soluția folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem determinantul sistemului: Δ=∣111abca2b2c2∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}. Acesta este un determinant de tip Vandermonde.
23 puncte
Calculăm Δ=(b−a)(c−a)(c−b)\Delta = (b-a)(c-a)(c-b). Condiția pentru sistem compatibil determinat este Δ≠0\Delta \neq 0, adică a,b,ca, b, c distincte două câte două.
32 puncte
Pentru a aplica regula lui Cramer, considerăm determinanții Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z, unde Δx=∣111dbcd2b2c2∣\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ d & b & c \\ d^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}, Δy=∣111adca2d2c2∣\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & d & c \\ a^2 & d^2 & c^2 \end{vmatrix}, Δz=∣111abda2b2d2∣\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & d \\ a^2 & b^2 & d^2 \end{vmatrix}.
42 puncte
Calculăm acești determinanți, de asemenea Vandermonde: Δx=(b−d)(c−d)(c−b)\Delta_x = (b-d)(c-d)(c-b), Δy=(d−a)(c−a)(c−d)\Delta_y = (d-a)(c-a)(c-d), Δz=(b−a)(d−a)(d−b)\Delta_z = (b-a)(d-a)(d-b).
51 punct
Soluția sistemului este x=ΔxΔ=(b−d)(c−d)(c−b)(b−a)(c−a)(c−b)=(b−d)(c−d)(b−a)(c−a)x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{(b-d)(c-d)(c-b)}{(b-a)(c-a)(c-b)} = \frac{(b-d)(c-d)}{(b-a)(c-a)}, y=ΔyΔ=(d−a)(c−a)(c−d)(b−a)(c−a)(c−b)=(d−a)(c−d)(b−a)(c−b)y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{(d-a)(c-a)(c-d)}{(b-a)(c-a)(c-b)} = \frac{(d-a)(c-d)}{(b-a)(c-b)}, z=ΔzΔ=(b−a)(d−a)(d−b)(b−a)(c−a)(c−b)=(d−a)(d−b)(c−a)(c−b)z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{(b-a)(d-a)(d-b)}{(b-a)(c-a)(c-b)} = \frac{(d-a)(d-b)}{(c-a)(c-b)}, presupunând a,b,ca, b, c distincte și simplificând factorii comuni.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.