MediuTeoria MulțimilorClasa 10

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie mulțimile A={z∈C∣∣z∣=2}A = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 2 \} și B={z∈C∣Re(z)=1}B = \{ z \in \mathbb{C} \mid \text{Re}(z) = 1 \}. a) Descrieți geometric mulțimile A și B. b) Determinați A∩BA \cap B. c) Calculați modulul numărului complex w=z1+z2w = z_1 + z_2, unde z1∈Az_1 \in A și z2∈Bz_2 \in B sunt alese astfel încât z1⋅z2=2+2iz_1 \cdot z_2 = 2+2i.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Descrierea geometrică. A={z∈C∣∣z∣=2}A = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 2 \} este cercul cu centrul în origine și raza 2. B={z∈C∣Re(z)=1}B = \{ z \in \mathbb{C} \mid \text{Re}(z) = 1 \} este dreapta verticală unde partea reală este 1, adică x=1x=1 în planul complex.
22 puncte
Determinarea lui A∩BA \cap B. Fie z=x+iyz = x+iy, cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. Din ∣z∣=2|z| = 2, avem x2+y2=4x^2 + y^2 = 4. Din Re(z)=1\text{Re}(z) = 1, avem x=1x=1. Substituind: 12+y2=4⇒y2=3⇒y=±31^2 + y^2 = 4 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt{3}. Deci A∩B={1+i3,1−i3}A \cap B = \{ 1 + i\sqrt{3}, 1 - i\sqrt{3} \}.
36 puncte
Calculul modulului lui ww. Fie z1=a+ibz_1 = a+ib cu a2+b2=4a^2 + b^2 = 4, și z2=1+icz_2 = 1+ic cu c∈Rc \in \mathbb{R}. Din z1⋅z2=2+2iz_1 \cdot z_2 = 2+2i, avem (a+ib)(1+ic)=(a−bc)+i(ac+b)=2+2i(a+ib)(1+ic) = (a - bc) + i(ac + b) = 2+2i, deci sistemul: a−bc=2a - bc = 2 și ac+b=2ac + b = 2. Din prima, c=a−2bc = \frac{a-2}{b} (pentru b≠0b \neq 0). Substituim în a doua: a⋅a−2b+b=2⇒a(a−2)+b2=2b⇒a2−2a+b2=2ba \cdot \frac{a-2}{b} + b = 2 \Rightarrow a(a-2) + b^2 = 2b \Rightarrow a^2 - 2a + b^2 = 2b. Dar a2+b2=4a^2 + b^2 = 4, deci 4−2a=2b⇒b=2−a4 - 2a = 2b \Rightarrow b = 2-a. Substituim în a2+b2=4a^2 + b^2 = 4: a2+(2−a)2=4⇒2a2−4a=0⇒2a(a−2)=0⇒a=0a^2 + (2-a)^2 = 4 \Rightarrow 2a^2 - 4a = 0 \Rightarrow 2a(a-2)=0 \Rightarrow a=0 sau a=2a=2. Cazul 1: a=0a=0, atunci b=2b=2, c=0−22=−1c = \frac{0-2}{2} = -1, deci z1=2iz_1 = 2i, z2=1−iz_2 = 1-i, w=1+iw = 1+i, ∣w∣=2|w| = \sqrt{2}. Cazul 2: a=2a=2, atunci b=0b=0, din ac+b=2ac+b=2 cu a=2a=2, 2c=2⇒c=12c=2 \Rightarrow c=1, deci z1=2z_1=2, z2=1+iz_2=1+i, w=3+iw=3+i, ∣w∣=10|w| = \sqrt{10}. Deci modulul poate fi 2\sqrt{2} sau 10\sqrt{10}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.