MediuInducție matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăNumere ComplexeTrigonometrie
Fie numărul complex z=1+iz = 1 + i. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \ge 1, zn=2n/2(cos⁡nπ4+isin⁡nπ4)z^n = 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se verifică pentru n=1: z1=1+iz^1 = 1+i, iar 21/2(cos⁡π4+isin⁡π4)=2(22+i22)=1+i2^{1/2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1+i, deci egalitatea este adevărată.
22 puncte
Se presupune adevărat pentru n=k, adică zk=2k/2(cos⁡kπ4+isin⁡kπ4)z^k = 2^{k/2} \left( \cos \frac{k\pi}{4} + i \sin \frac{k\pi}{4} \right).
34 puncte
Pentru n=k+1, zk+1=zk⋅z=2k/2(cos⁡kπ4+isin⁡kπ4)⋅(1+i)z^{k+1} = z^k \cdot z = 2^{k/2} \left( \cos \frac{k\pi}{4} + i \sin \frac{k\pi}{4} \right) \cdot (1+i). Se scrie 1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right). Înmulțind numerele complexe în formă trigonometrică: zk+1=2k/2⋅2[cos⁡(kπ4+π4)+isin⁡(kπ4+π4)]=2(k+1)/2(cos⁡(k+1)π4+isin⁡(k+1)π4)z^{k+1} = 2^{k/2} \cdot \sqrt{2} \left[ \cos \left( \frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) \right] = 2^{(k+1)/2} \left( \cos \frac{(k+1)\pi}{4} + i \sin \frac{(k+1)\pi}{4} \right).
42 puncte
Conform principiului inducției matematice, egalitatea este adevărată pentru orice n natural n≥1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.