MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: 1⋅2+2⋅3+3⋅4+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică pentru n=1: 1⋅2=21 \cdot 2 = 2 și 1⋅2⋅33=2\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2, deci egalitatea este adevărată.
22 puncte
Se presupune că egalitatea este adevărată pentru n=k, adică 1⋅2+2⋅3+⋯+k(k+1)=k(k+1)(k+2)31 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}.
36 puncte
Se demonstrează pentru n=k+1: se consideră suma Sk+1=1⋅2+2⋅3+⋯+k(k+1)+(k+1)(k+2)S_{k+1} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2). Folosind ipoteza inductivă, Sk+1=k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k3+1)=(k+1)(k+2)⋅k+33=(k+1)(k+2)(k+3)3S_{k+1} = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2) \left( \frac{k}{3} + 1 \right) = (k+1)(k+2) \cdot \frac{k+3}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}, ceea ce trebuia demonstrat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.