MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă are costul total de producție dat de C(x)=x3−6x2+15x+10C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 10, unde x este cantitatea produsă. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=21−2xp(x) = 21 - 2x. Aflați valoarea lui x pentru care profitul este maxim și determinați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Profitul P(x)=V(x)−C(x)P(x) = V(x) - C(x), unde V(x)=x⋅p(x)=x(21−2x)=21x−2x2V(x) = x \cdot p(x) = x(21 - 2x) = 21x - 2x^2. Deci P(x)=(21x−2x2)−(x3−6x2+15x+10)=−x3+4x2+6x−10P(x) = (21x - 2x^2) - (x^3 - 6x^2 + 15x + 10) = -x^3 + 4x^2 + 6x - 10.
24 puncte
Calculăm derivata P′(x)=−3x2+8x+6P'(x) = -3x^2 + 8x + 6. Punem P′(x)=0P'(x) = 0: −3x2+8x+6=0-3x^2 + 8x + 6 = 0, adică 3x2−8x−6=03x^2 - 8x - 6 = 0. Discriminant: Δ=64+72=136\Delta = 64 + 72 = 136, x=8±1366=8±2346=4±343x = \frac{8 \pm \sqrt{136}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{34}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{34}}{3}. Cum x>0x > 0, considerăm x=4+343x = \frac{4 + \sqrt{34}}{3}.
33 puncte
Verificăm că este maxim: P′′(x)=−6x+8P''(x) = -6x + 8. Pentru x=4+343x = \frac{4 + \sqrt{34}}{3}, P′′(x)=−6⋅4+343+8=−2(4+34)+8=−8−234+8=−234<0P''(x) = -6 \cdot \frac{4 + \sqrt{34}}{3} + 8 = -2(4 + \sqrt{34}) + 8 = -8 - 2\sqrt{34} + 8 = -2\sqrt{34} < 0, deci este punct de maxim. Profitul maxim este P(4+343)P\left(\frac{4 + \sqrt{34}}{3}\right); se poate calcula numeric sau lăsat în formă simbolică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.