MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie AnaliticăEcuații iraționale
Se consideră funcția f(x)=xf(x) = \sqrt{x}. Determinați ecuațiile tangentelor la graficul funcției care trec prin punctul A(0,−1)A(0, -1).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți ecuația generală a unei tangente la graficul funcției ff într-un punct (a,f(a))(a, f(a)), cu a≥0a \geq 0. Derivata funcției este f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, deci panta tangentei în x=ax=a este f′(a)=12af'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}}. Ecuația tangentei: y−a=12a(x−a)y - \sqrt{a} = \frac{1}{2\sqrt{a}}(x - a).
23 puncte
Impuneți condiția ca tangenta să treacă prin punctul A(0,−1)A(0, -1). Înlocuiți x=0x=0 și y=−1y=-1 în ecuația tangentei: −1−a=12a(0−a)=−a2a=−a2-1 - \sqrt{a} = \frac{1}{2\sqrt{a}}(0 - a) = -\frac{a}{2\sqrt{a}} = -\frac{\sqrt{a}}{2}.
33 puncte
Rezolvați ecuația obținută: −1−a=−a2-1 - \sqrt{a} = -\frac{\sqrt{a}}{2}. Aduceți termenii similari: −1=−a2+a=a2-1 = -\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{a} = \frac{\sqrt{a}}{2}, deci a2=−1⇒a=−2\frac{\sqrt{a}}{2} = -1 \Rightarrow \sqrt{a} = -2.
42 puncte
Deoarece a≥0\sqrt{a} \geq 0 pentru orice a≥0a \geq 0, ecuația a=−2\sqrt{a} = -2 nu are soluții reale. Concluzie: Nu există tangente la graficul funcției f(x)=xf(x) = \sqrt{x} care să treacă prin punctul A(0,−1)A(0, -1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.