MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați determinantul matricei A=(1aa21bb21cc2)A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix} și demonstrați că este egal cu (a−b)(b−c)(c−a)(a-b)(b-c)(c-a). Apoi, folosind acest rezultat, rezolvați sistemul de ecuații liniare: {x+ay+a2z=1x+by+b2z=2x+cy+c2z=3\begin{cases} x + ay + a^2 z = 1 \\ x + by + b^2 z = 2 \\ x + cy + c^2 z = 3 \end{cases} pentru a,b,ca, b, c distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Calculăm determinantul lui A prin scăderea primei linii din celelalte sau folosind formula Vandermonde: det⁡(A)=∣1aa21bb21cc2∣=(a−b)(b−c)(c−a)\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a).
26 puncte
Aplicăm regula lui Cramer. Determinantul sistemului este Δ=det⁡(A)=(a−b)(b−c)(c−a)≠0\Delta = \det(A) = (a-b)(b-c)(c-a) \neq 0 (deoarece a,b,ca, b, c distincte). Calculăm Δx=∣1aa22bb23cc2∣\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 2 & b & b^2 \\ 3 & c & c^2 \end{vmatrix}, Δy=∣11a212b213c2∣\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a^2 \\ 1 & 2 & b^2 \\ 1 & 3 & c^2 \end{vmatrix}, Δz=∣1a11b21c3∣\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 2 \\ 1 & c & 3 \end{vmatrix}. Folosind proprietăți similare, obținem soluțiile: x=ΔxΔx = \frac{\Delta_x}{\Delta}, y=ΔyΔy = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z=ΔzΔz = \frac{\Delta_z}{\Delta}, cu expresii explicate în funcție de a,b,ca, b, c.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.