MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorArii și volume
Fie funcția f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Știind că ff are un punct de extrem în x=1x=1 cu valoarea f(1)=3f(1)=3, tangenta la graficul lui ff în punctul de abscisă x=2x=2 este paralelă cu dreapta y=3x−4y=3x-4, și f(0)=5f(0)=5, determinați funcția ff. Apoi, calculați aria maximă a unui dreptunghi care are baza pe axa Ox și vârfurile de pe graficul lui ff pe intervalul [0,2][0,2].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem condițiile: f′(1)=0⇒3a+2b+c=0f'(1)=0 \Rightarrow 3a+2b+c=0, f(1)=3⇒a+b+c+d=3f(1)=3 \Rightarrow a+b+c+d=3, f′(2)=3⇒12a+4b+c=3f'(2)=3 \Rightarrow 12a+4b+c=3, f(0)=5⇒d=5f(0)=5 \Rightarrow d=5. Rezolvăm sistemul: din d=5d=5, obținem a+b+c=−2a+b+c=-2. Scăzând ecuațiile pentru derivate, avem 9a+2b=39a+2b=3 și 2a+b=22a+b=2. Soluția: a=−15a=-\frac{1}{5}, b=125b=\frac{12}{5}, c=−215c=-\frac{21}{5}, deci f(x)=−15x3+125x2−215x+5f(x) = -\frac{1}{5}x^3 + \frac{12}{5}x^2 - \frac{21}{5}x + 5.
23 puncte
Definim aria dreptunghiului: A(x)=x⋅f(x)=−15x4+125x3−215x2+5xA(x) = x \cdot f(x) = -\frac{1}{5}x^4 + \frac{12}{5}x^3 - \frac{21}{5}x^2 + 5x, pentru x∈[0,2]x \in [0,2].
33 puncte
Calculăm derivata: A′(x)=−45x3+365x2−425x+5A'(x) = -\frac{4}{5}x^3 + \frac{36}{5}x^2 - \frac{42}{5}x + 5. Rezolvăm A′(x)=0A'(x)=0 pe [0,2][0,2]; se obține x=1x=1 (verificare: A′(1)=0A'(1)=0). Evaluăm: A(0)=0A(0)=0, A(1)=−15+125−215+5=155=3A(1)= -\frac{1}{5} + \frac{12}{5} - \frac{21}{5} + 5 = \frac{15}{5} = 3, A(2)=−165+965−845+10=965+10=1465=29.2A(2)= -\frac{16}{5} + \frac{96}{5} - \frac{84}{5} + 10 = \frac{96}{5} + 10 = \frac{146}{5} = 29.2 (dar A(2)A(2) este mai mare, dar verificăm dacă x=2x=2 este permis? Da, deoarece dreptunghiul are vârfuri pe grafic, iar pentru x=2x=2, înălțimea este f(2)=4.6f(2)=4.6, deci A(2)=9.2A(2)=9.2. Corectăm: A(2)=2⋅f(2)=2⋅4.6=9.2A(2)= 2 \cdot f(2) = 2 \cdot 4.6 = 9.2. Calculăm f(2)=−15⋅8+125⋅4−215⋅2+5=−85+485−425+5=−25+5=235=4.6f(2)= -\frac{1}{5}\cdot8 + \frac{12}{5}\cdot4 - \frac{21}{5}\cdot2 + 5 = -\frac{8}{5} + \frac{48}{5} - \frac{42}{5} + 5 = \frac{-2}{5} + 5 = \frac{23}{5} = 4.6, deci A(2)=9.2A(2)=9.2. Atunci maximul este în x=2x=2 cu A=9.2A=9.2, dar verificăm A′(2)A'(2): A′(2)=−45⋅8+365⋅4−425⋅2+5=−325+1445−845+5=285+5=535=10.6>0A'(2)= -\frac{4}{5}\cdot8 + \frac{36}{5}\cdot4 - \frac{42}{5}\cdot2 + 5 = -\frac{32}{5} + \frac{144}{5} - \frac{84}{5} + 5 = \frac{28}{5} + 5 = \frac{53}{5} = 10.6 >0, deci AA este crescătoare la x=2x=2, deci maximul este la capătul x=2x=2. Dar x=2x=2 este permis, deci aria maximă este 9.29.2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.