MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieVectoriGeometrie Analitică
În planul cartezian, se consideră punctele A(2,3)A(2,3), B(5,7)B(5,7), și C(1,−2)C(1,-2). Să se determine măsura unghiului ∠BAC\angle BAC folosind vectorii și să se calculeze aria triunghiului ABCABC.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează vectorii AB⃗=(5−2,7−3)=(3,4)\vec{AB} = (5-2, 7-3) = (3,4) și AC⃗=(1−2,−2−3)=(−1,−5)\vec{AC} = (1-2, -2-3) = (-1,-5).
23 puncte
Se calculează produsul scalar AB⃗⋅AC⃗=3⋅(−1)+4⋅(−5)=−3−20=−23\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot (-1) + 4 \cdot (-5) = -3 -20 = -23, și modulele ∣AB⃗∣=32+42=5|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, ∣AC⃗∣=(−1)2+(−5)2=26|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{26}.
32 puncte
Se determină cos⁡∠BAC=AB⃗⋅AC⃗∣AB⃗∣∣AC⃗∣=−23526\cos \angle BAC = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{-23}{5\sqrt{26}}, deci unghiul este obtuz și măsura sa este ∠BAC=arccos⁡(−23526)\angle BAC = \arccos\left(\frac{-23}{5\sqrt{26}}\right).
42 puncte
Aria triunghiului: S=12∣det⁡(AB⃗,AC⃗)∣=12∣3⋅(−5)−4⋅(−1)∣=12∣−15+4∣=112S = \frac{1}{2} | \det(\vec{AB}, \vec{AC}) | = \frac{1}{2} |3 \cdot (-5) - 4 \cdot (-1)| = \frac{1}{2} |-15 + 4| = \frac{11}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.