MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural nn, expresia n3+5nn^3 + 5n este divizibilă cu 6.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru n=1n=1, avem 13+5⋅1=61^3 + 5 \cdot 1 = 6, care este divizibil cu 6.
22 puncte
Presupunem că pentru n=kn=k, k3+5kk^3 + 5k este divizibil cu 6, deci există un întreg mm astfel încât k3+5k=6mk^3 + 5k = 6m.
34 puncte
Pentru n=k+1n=k+1, calculăm (k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k2+3k+6=6m+3k(k+1)+6(k+1)^3 + 5(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5 = (k^3 + 5k) + 3k^2 + 3k + 6 = 6m + 3k(k+1) + 6. Deoarece k(k+1)k(k+1) este produsul a două numere consecutive, este par, deci k(k+1)=2pk(k+1) = 2p pentru un întreg pp. Atunci 3k(k+1)=6p3k(k+1) = 6p. Înlocuind, obținem 6m+6p+6=6(m+p+1)6m + 6p + 6 = 6(m+p+1), care este divizibil cu 6.
42 puncte
Prin principiul inducției matematice, proprietatea este adevărată pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.