MediuLogică matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăInducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, propoziția P(n)P(n): „an=2n−1a_n = 2^n - 1” este adevărată. Apoi, folosind logica, analizați implicația: dacă ana_n este număr prim, atunci nn este număr prim. Este această implicație adevărată pentru toate n∈N∗n \in \mathbb{N}^*? Justificați.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Demonstrație prin inducție.
  • Baza inducției: Pentru n=1n=1, a1=1a_1 = 1 și 21−1=12^1 - 1 = 1, deci P(1)P(1) este adevărată.
  • Pasul inductiv: Presupunem că P(k)P(k) este adevărată pentru un k≥1k \geq 1, adică ak=2k−1a_k = 2^k - 1. Atunci, ak+1=2ak+1=2(2k−1)+1=2k+1−2+1=2k+1−1a_{k+1} = 2a_k + 1 = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 2 + 1 = 2^{k+1} - 1. Deci P(k+1)P(k+1) este adevărată. Prin inducție, P(n)P(n) este adevărată pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
25 puncte
Analiza implicației. Implicația este: dacă ana_n este prim, atunci nn este prim. Pentru a verifica valoarea de adevăr, considerăm că an=2n−1a_n = 2^n - 1. Dacă nn este compus, să zicem n=abn = ab cu a,b>1a,b > 1, atunci 2n−1=2ab−1=(2a)b−12^n - 1 = 2^{ab} - 1 = (2^a)^b - 1 care este divizibil cu 2a−12^a - 1 (deoarece xb−1=(x−1)(xb−1+…+1)x^b - 1 = (x-1)(x^{b-1} + \ldots + 1)). Astfel, dacă nn este compus, ana_n are un divizor propriu, deci nu este prim. Prin urmare, dacă ana_n este prim, atunci nn trebuie să fie prim. Implicația este adevărată pentru toate n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.