MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatorică
Demonstrați prin metoda combinatorială că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=0n(nk)2k=3n\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^k = 3^n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se enunță identitatea și se înțelege că se cere o demonstrație combinatorială.
24 puncte
Se consideră o mulțime cu nn elemente. Pentru fiecare element, există trei opțiuni: a nu fi ales, a fi ales și marcat cu 1, sau a fi ales și marcat cu 2. Numărul total de alegeri este 3n3^n.
34 puncte
Pe de altă parte, pentru fiecare kk de la 0 la nn, se pot alege kk elemente din nn în (nk)\binom{n}{k} moduri, iar pentru fiecare element ales, se atribuie una din cele două marcaje în 2k2^k moduri. Sumând peste kk, se obține ∑k=0n(nk)2k\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^k. Cele două numărări fiind egale, identitatea este demonstrată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.