MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un turn este observat din două puncte A și B, situate pe o dreaptă orizontală, cu distanța AB = 100 m. Unghiurile de elevație față de vârful turnului sunt de 30° din punctul A și de 45° din punctul B. Presupunând că baza turnului se află pe aceeași dreaptă orizontală, calculați înălțimea turnului și distanța de la punctul A la baza turnului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm înălțimea turnului cu hh, distanța de la A la baza turnului cu xx și distanța de la B la baza turnului cu yy. Atunci tan⁡30∘=hx\tan 30^\circ = \frac{h}{x} și tan⁡45∘=hy\tan 45^\circ = \frac{h}{y}, iar din poziția punctelor, x−y=100x - y = 100 m (deoarece A și B sunt pe aceeași dreaptă spre turn, cu A mai departe).
23 puncte
Din tan⁡30∘=hx\tan 30^\circ = \frac{h}{x} obținem x=htan⁡30∘=h3x = \frac{h}{\tan 30^\circ} = h\sqrt{3}. Din tan⁡45∘=hy\tan 45^\circ = \frac{h}{y} obținem y=hy = h.
33 puncte
Substituim în x−y=100x - y = 100: h3−h=100⇒h(3−1)=100⇒h=1003−1=100(3+1)2=50(3+1)h\sqrt{3} - h = 100 \Rightarrow h(\sqrt{3} - 1) = 100 \Rightarrow h = \frac{100}{\sqrt{3} - 1} = \frac{100(\sqrt{3} + 1)}{2} = 50(\sqrt{3} + 1) m.
42 puncte
Distanța de la A la baza turnului este x=h3=50(3+1)3=50(3+3)=150+503x = h\sqrt{3} = 50(\sqrt{3} + 1)\sqrt{3} = 50(3 + \sqrt{3}) = 150 + 50\sqrt{3} m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.