MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiIdentități algebrice
Demonstrați că pentru orice numere reale x,y,zx, y, z, determinantul ∣1xx21yy21zz2∣=(x−y)(y−z)(z−x)\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = (x-y)(y-z)(z-x). Apoi, folosind această identitate, calculați determinantul ∣1241391525∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 25 \end{vmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Demonstrație prin calcul direct al determinantului. Calculăm: ∣1xx21yy21zz2∣=1⋅∣yy2zz2∣−x⋅∣1y21z2∣+x2⋅∣1y1z∣=(yz2−y2z)−x(z2−y2)+x2(z−y)\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} y & y^2 \\ z & z^2 \end{vmatrix} - x \cdot \begin{vmatrix} 1 & y^2 \\ 1 & z^2 \end{vmatrix} + x^2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & y \\ 1 & z \end{vmatrix} = (y z^2 - y^2 z) - x(z^2 - y^2) + x^2(z - y). Factorizăm: yz(z−y)−x(z−y)(z+y)+x2(z−y)=(z−y)[yz−x(z+y)+x2]=(z−y)(yz−xz−xy+x2)=(z−y)(x2−xz−xy+yz)=(z−y)(x(x−z)−y(x−z))=(z−y)(x−z)(x−y)=(x−y)(y−z)(z−x)yz(z - y) - x(z-y)(z+y) + x^2(z-y) = (z-y)[yz - x(z+y) + x^2] = (z-y)(yz - xz - xy + x^2) = (z-y)(x^2 - xz - xy + yz) = (z-y)(x(x-z) - y(x-z)) = (z-y)(x-z)(x-y) = (x-y)(y-z)(z-x). Astfel, identitatea este demonstrată.
25 puncte
Aplicăm identitatea pentru x=2x=2, y=3y=3, z=5z=5. Determinantul este ∣1241391525∣=(2−3)(3−5)(5−2)=(−1)⋅(−2)⋅3=6\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 25 \end{vmatrix} = (2-3)(3-5)(5-2) = (-1) \cdot (-2) \cdot 3 = 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.