MediuMatematică financiarăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică financiară

MediuMatematică financiarăProgresii GeometriceLogaritmi
O persoană depune anual suma de P=1000P=1000 lei într-un cont bancar cu dobândă compusă la o rată anuală r=4%r=4\%. Depunerile se fac la începutul fiecărui an, iar dobânda se capitalizează la sfârșitul anului. Arătați că sumele acumulate la sfârșitul fiecărui an formează o progresie geometrică. Calculați suma totală după 10 ani. Determinați după câți ani suma totală va depăși 50.000 lei, folosind logaritmi.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm AnA_n suma la sfârșitul anului nn. Pentru n=1n=1, A1=P(1+r)A_1 = P(1+r). Pentru n=2n=2, A2=(A1+P)(1+r)=P(1+r)2+P(1+r)A_2 = (A_1 + P)(1+r) = P(1+r)^2 + P(1+r). În general, An=P∑k=1n(1+r)kA_n = P \sum_{k=1}^{n} (1+r)^k.
23 puncte
Suma AnA_n este suma unei progresii geometrice cu primul termen P(1+r)P(1+r) și rația (1+r)(1+r), deci An=P(1+r)(1+r)n−1rA_n = P(1+r) \frac{(1+r)^n - 1}{r}.
32 puncte
Pentru P=1000P=1000, r=0.04r=0.04, n=10n=10, avem A10=1000×1.04×1.0410−10.04≈12486.85A_{10} = 1000 \times 1.04 \times \frac{1.04^{10} - 1}{0.04} \approx 12486.85 lei.
42 puncte
Rezolvăm inecuația An>50000A_n > 50000. Adică 1000×1.04×1.04n−10.04>500001000 \times 1.04 \times \frac{1.04^n - 1}{0.04} > 50000. Simplificând, 1.04n>3.041.04^n > 3.04. Aplicând logaritmi: nln⁡(1.04)>ln⁡(3.04)n \ln(1.04) > \ln(3.04), deci n>ln⁡(3.04)ln⁡(1.04)≈28.5n > \frac{\ln(3.04)}{\ln(1.04)} \approx 28.5. Astfel, după 29 ani suma depășește 50.000 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică financiară

Ușor#1Matematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se depune suma de 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. Calculați suma acumulată după 10 ani și determinați după câți ani suma inițială se dublează.
Ușor#2Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
La începutul anului 2020, Maria depune 8000 de lei într-un cont cu dobândă compusă la o rată anuală de 4%. La sfârșitul anului 2022, ea adaugă încă 2000 de lei. Rata dobânzii se schimbă la 5% începând cu anul 2024. Care este valoarea contului la sfârșitul anului 2026?
Mediu#3Matematică financiarăLogaritmi
Un împrumut de 10.000 de lei este acordat cu o rată a dobânzii de 8% pe an, compusă lunar. Împrumutatul plătește lunar o rată constantă de R lei timp de 60 de luni. Să se determine valoarea lui R astfel încât după 60 de luni soldul să fie zero. Apoi, să se calculeze suma totală plătită de către împrumutat.
Ușor#4Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O bancă oferă un împrumut de 10000 lei cu o dobândă compusă anuală de 5%. Împrumutul trebuie rambursat în 3 ani prin plăți anuale egale la sfârșitul fiecărui an. Determinați suma plătită anual.
Vezi toate problemele de Matematică financiară →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică financiară cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.