MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Fie sistemul de ecuații liniare: {mx+y+z=1x+my+z=mx+y+mz=m2\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m^2 \end{cases}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. a) Determinați valorile lui mm pentru care sistemul are soluție unică și aflați soluția în acest caz. b) Pentru m=1m = 1, rezolvați sistemul. c) Pentru m=−2m = -2, discutați natura sistemului (compatibil determinat, compatibil nedeterminat sau incompatibil).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se scrie matricea sistemului A=(m111m111m)A = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix} și se calculează determinantul: det⁡(A)=m3−3m+2\det(A) = m^3 - 3m + 2. Factorizând, det⁡(A)=(m−1)2(m+2)\det(A) = (m-1)^2(m+2).
22 puncte
Sistemul are soluție unică dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică pentru m≠1m \neq 1 și m≠−2m \neq -2.
33 puncte
Pentru m≠1m \neq 1 și m≠−2m \neq -2, se aplică regula lui Cramer. Soluțiile sunt: x=−m2+m+2(m−1)(m+2)=−(m−2)(m+1)(m−1)(m+2)x = \frac{-m^2 + m + 2}{(m-1)(m+2)} = \frac{-(m-2)(m+1)}{(m-1)(m+2)}, y=m2−2m+1(m−1)(m+2)=m−1m+2y = \frac{m^2 - 2m + 1}{(m-1)(m+2)} = \frac{m-1}{m+2}, z=m3−m2−m+1(m−1)(m+2)=(m−1)2(m+1)(m−1)(m+2)=(m−1)(m+1)m+2z = \frac{m^3 - m^2 - m + 1}{(m-1)(m+2)} = \frac{(m-1)^2(m+1)}{(m-1)(m+2)} = \frac{(m-1)(m+1)}{m+2}.
42 puncte
Pentru m=1m=1, sistemul devine {x+y+z=1x+y+z=1x+y+z=1\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+y+z=1 \\ x+y+z=1 \end{cases}, deci este compatibil nedeterminat; soluțiile sunt x=1−y−zx = 1 - y - z, cu y,z∈Ry, z \in \mathbb{R}. Pentru m=−2m=-2, sistemul devine {−2x+y+z=1x−2y+z=−2x+y−2z=4\begin{cases} -2x+y+z=1 \\ x-2y+z=-2 \\ x+y-2z=4 \end{cases}; se verifică că determinantul este zero și sistemul este incompatibil, deoarece ecuațiile sunt contradictorii (de exemplu, adunând primele două ecuații se obține −x−y+2z=−1-x -y + 2z = -1, care nu este compatibilă cu a treia).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.