MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteFuncția de gradul al II-leaSisteme de Ecuații Liniare
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=2x2+px+qx−1f(x) = \frac{2x^2 + px + q}{x-1}, unde p,q∈Rp, q \in \mathbb{R}. Determinați pp și qq astfel încât graficul funcției ff să admită asimptotă verticală la x=1x=1 și asimptotă oblică cu ecuația y=2x+3y=2x+3. Aflați dacă există puncte de intersecție între graficul funcției și asimptota oblică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția pentru asimptotă verticală la x=1x=1: lim⁡x→1f(x)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \infty, ceea ce implică că numărătorul trebuie să fie nenul la x=1x=1, adică 2+p+q≠02 + p + q \neq 0.
24 puncte
Efectuăm împărțirea polinoamelor: 2x2+px+q=(x−1)(2x+(p+2))+(p+q+2)2x^2 + px + q = (x-1)(2x + (p+2)) + (p+q+2). Atunci f(x)=2x+(p+2)+p+q+2x−1f(x) = 2x + (p+2) + \frac{p+q+2}{x-1}. Asimptota oblică este y=2x+(p+2)y = 2x + (p+2). Din ipoteză, 2x+(p+2)=2x+32x + (p+2) = 2x+3, deci p+2=3p+2=3 și astfel p=1p=1.
33 puncte
Cu p=1p=1, din condiția de asimptotă verticală, 2+1+q≠02+1+q \neq 0, deci q≠−3q \neq -3. Pentru intersecția cu asimptota oblică, rezolvăm f(x)=2x+3f(x) = 2x+3: 2x+3+1+q+2x−1=2x+32x+3 + \frac{1+q+2}{x-1} = 2x+3 ⇒\Rightarrow q+3x−1=0\frac{q+3}{x-1} = 0. Pentru q≠−3q \neq -3, ecuația nu are soluție, deci nu există puncte de intersecție. Dacă q=−3q = -3, funcția coincide cu asimptota, dar atunci nu avem asimptotă verticală, deci cazul este exclus.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.