MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați că pentru orice numere reale a,b,ca, b, c, are loc egalitatea: ∣abcbcacab∣=(a+b+c)(ab+ac+bc−a2−b2−c2)\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = (a+b+c)(ab+ac+bc - a^2 - b^2 - c^2). Apoi, folosind această identitate, determinați valorile lui aa pentru care determinantul ∣a2323a3a2∣\begin{vmatrix} a & 2 & 3 \\ 2 & 3 & a \\ 3 & a & 2 \end{vmatrix} este egal cu 00.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Calculăm determinantul: Δ=∣abcbcacab∣=a(bc−a2)−b(b2−ac)+c(ab−c2)=abc−a3−b3+abc+abc−c3=3abc−a3−b3−c3\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 3abc - a^3 - b^3 - c^3. Folosim identitatea a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - ac - bc), deci 3abc−a3−b3−c3=−(a3+b3+c3−3abc)=−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)=(a+b+c)(ab+ac+bc−a2−b2−c2)3abc - a^3 - b^3 - c^3 = -(a^3+b^3+c^3 - 3abc) = -(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - ac - bc) = (a+b+c)(ab+ac+bc - a^2 - b^2 - c^2).
25 puncte
Aplicăm identitatea pentru determinantul ∣a2323a3a2∣\begin{vmatrix} a & 2 & 3 \\ 2 & 3 & a \\ 3 & a & 2 \end{vmatrix}, unde b=2b=2, c=3c=3. Obținem Δ=(a+2+3)(a⋅2+a⋅3+2⋅3−a2−22−32)=(a+5)(2a+3a+6−a2−4−9)=(a+5)(5a−a2−7)\Delta = (a+2+3)(a\cdot2 + a\cdot3 + 2\cdot3 - a^2 - 2^2 - 3^2) = (a+5)(2a+3a+6 - a^2 - 4 - 9) = (a+5)(5a - a^2 -7). Setăm Δ=0\Delta=0: (a+5)(5a−a2−7)=0(a+5)(5a - a^2 -7)=0. Deci a+5=0a+5=0 sau 5a−a2−7=05a - a^2 -7=0. Prima dă a=−5a=-5. A doua: a2−5a+7=0a^2 - 5a +7=0, cu discriminantul Δ=25−28=−3<0\Delta = 25-28=-3<0, deci nu are soluții reale. Singura soluție reală este a=−5a=-5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.